Analysis Beispiele

$\int \cos (x) \cdot 5^{\sin (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 5^{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $5^{u}$ nach $u$ ist $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C$

Schritt 3

Schreibe $\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C$ als $\frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$ um.

$\frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{\sin (x)} + C$