Analysis Beispiele

$\int {(1 + 2 x)}^{4} \cdot 3 x d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int 3 {(1 + 2 x)}^{4} x d x$

Schritt 2.2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\int 3 (1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\int 3 (1 + 4 \cdot 1^{3} (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Schritt 2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\int 3 (1 + 4 \cdot 1 (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\int 3 (1 + 4 (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Schritt 2.3.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\int 3 (1 + 8 x + 6 \cdot 1 {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 6 {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Schritt 2.3.7

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\int 3 (1 + 8 x + 6 (2^{2} x^{2}) + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Schritt 2.3.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 6 (4 x^{2}) + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Schritt 2.3.11

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 (2^{3} x^{3}) + {(2 x)}^{4}) x d x$

Schritt 2.3.12

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 (8 x^{3}) + {(2 x)}^{4}) x d x$

Schritt 2.3.13

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Schritt 2.3.14

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + 2^{4} x^{4}) x d x$

Schritt 2.3.15

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + 16 x^{4}) x d x$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (3 \cdot 1 + 3 (8 x) + 3 (24 x^{2}) + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int (3 + 3 (8 x) + 3 (24 x^{2}) + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\int (3 + 24 x + 3 (24 x^{2}) + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $24$ mit $3$ .

$\int (3 + 24 x + 72 x^{2} + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $32$ mit $3$ .

$\int (3 + 24 x + 72 x^{2} + 96 x^{3} + 3 (16 x^{4})) x d x$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$\int (3 + 24 x + 72 x^{2} + 96 x^{3} + 48 x^{4}) x d x$

Schritt 2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 3 x + 24 x \cdot x + 72 x^{2} x + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.1.1

Bewege $x$ .

$\int 3 x + 24 (x \cdot x) + 72 x^{2} x + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

Schritt 2.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{2} x + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

Schritt 2.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.2.1

Bewege $x$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 (x \cdot x^{2}) + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

Schritt 2.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 (x^{1} x^{2}) + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

Schritt 2.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{1 + 2} + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

Schritt 2.7.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

Schritt 2.7.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.3.1

Bewege $x$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 (x \cdot x^{3}) + 48 x^{4} x d x$

Schritt 2.7.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 2.7.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 (x^{1} x^{3}) + 48 x^{4} x d x$

Schritt 2.7.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{1 + 3} + 48 x^{4} x d x$

Schritt 2.7.3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 x^{4} x d x$

Schritt 2.7.4

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.4.1

Bewege $x$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 (x \cdot x^{4}) d x$

Schritt 2.7.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 2.7.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 (x^{1} x^{4}) d x$

Schritt 2.7.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 x^{1 + 4} d x$

Schritt 2.7.4.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 x^{5} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x d x + \int 24 x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x d x + \int 24 x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 24 x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Schritt 6

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $24$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 \int x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Schritt 8

Da $72$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $72$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 \int x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Schritt 10

Da $96$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $96$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 \int x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 48 x^{5} d x$

Schritt 12

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $48$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 48 \int x^{5} d x$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 48 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + 48 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Schritt 14.2

Vereinfache.

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Schritt 14.2.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + 48 \frac{x^{6}}{6} + C$

Schritt 14.2.2

Kombiniere $48$ und $\frac{x^{6}}{6}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{48 x^{6}}{6} + C$

Schritt 14.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $6$ .

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Schritt 14.2.3.1

Faktorisiere $6$ aus $48 x^{6}$ heraus.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{6 (8 x^{6})}{6} + C$

Schritt 14.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{6 (8 x^{6})}{6 (1)} + C$

Schritt 14.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{6 (8 x^{6})}{6 \cdot 1} + C$

Schritt 14.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{8 x^{6}}{1} + C$

Schritt 14.2.3.2.4

Dividiere $8 x^{6}$ durch $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + 8 x^{6} + C$

Schritt 14.3

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{2} x^{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96}{5} x^{5} + 8 x^{6} + C$