Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Sei $x = \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

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Schritt 3.1.1

Ordne Terme um.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (t)$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \sec (t) d t$

Schritt 4

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Schritt 5

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$