Analysis Beispiele

$\int \frac{10}{\sqrt{2 x + 3}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x + 3$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Forme um.

$\frac{2}{1}$

Schritt 1.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{5}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2

Da $5$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 3.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$5 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$5 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $5 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$5 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 5.2

Schreibe $5 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ als $10 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$10 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 3$ .

$10 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$