Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \csc (x) d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Das Integral von $\csc (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Berechne $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ bei $\frac{3 π}{4}$ und $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{4})$ ist $\sqrt{2}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Schritt 3.2.2

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)$

Schritt 3.2.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kotangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - \cot (\frac{π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Schritt 3.3.2

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - (- 1 \cdot 1) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.5.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Schritt 3.3.5.2

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{4})$ ist $\sqrt{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Schritt 3.3.5.3

$\sqrt{2} + 1$ ist ungefähr $2.41421356$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Schritt 3.3.6

$\sqrt{2} - 1$ ist ungefähr $0.41421356$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ mit $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1})$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ mit $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)})$

Schritt 4.3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1})$

Schritt 4.4

Vereinfache.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{1})$

Schritt 4.5

Dividiere $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)$ durch $1$ .

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$

Schritt 4.6

Schreibe $\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$ als $\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$ um.

$\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$

Schritt 4.7

Addiere $\ln (\sqrt{2} + 1)$ und $\ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Dezimalform:

$1.76274717 \dots$