Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} + 4$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ als $u - 4$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u - 4}$ als ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{{(u - 4)}^{1}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

$\int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{u - 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Schritt 4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 5

Multipliziere $(u - 4) u^{- \frac{3}{2}}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.6

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u)$

Schritt 9

Da $- 4$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - 4 \int u^{- \frac{3}{2}} d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - 4 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C))$

Schritt 11

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{8}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Um $2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 8$ heraus.

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Schritt 13.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 4$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.2

Multipliziere ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.2.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{1} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.3

Vereinfache ${(x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{2} + 4 + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.4

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.4

Kombinieren.

$\frac{1 (2 (x^{2} + 8))}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (2 (x^{2} + 8))}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.7

Mutltipliziere $x^{2} + 8$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$