Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 2.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 2.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{\frac{1}{2}}$ ein.

$u_{lower} = 0^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$u_{lower} = {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = 0^{1}$

Schritt 2.3.4

Berechne den Exponenten.

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{\frac{1}{2}}$ ein.

$u_{upper} = {(\frac{π^{2}}{4})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{π^{2}}{4}$ an.

$u_{upper} = \frac{{(π^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.5.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π^{1}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache.

$u_{upper} = \frac{π}{4^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u_{upper} = \frac{π}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.5.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 2.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 2.5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{2^{1}}$

Schritt 2.5.3.4

Berechne den Exponenten.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin (u) d u$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$2 (- \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 5

Berechne $- \cos (u)$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$2 (- 0 + \cos (0))$

Schritt 6.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 (- 0 + 1)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (0 + 1)$

Schritt 6.4

Addiere $0$ und $1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$