Analysis Beispiele

$\int \frac{21 x^{2}}{4 {(x^{3} + 5)}^{\frac{5}{4}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{3} + 5$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{3} + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{7}{4 u^{\frac{5}{4}}} d u$

Schritt 2

Da $\frac{7}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{7}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{7}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{5}{4}}} d u$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $u^{\frac{5}{4}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int {(u^{\frac{5}{4}})}^{- 1} d u$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{5}{4}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{5}{4} \cdot - 1} d u$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $\frac{5}{4} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{5 \cdot - 1}{4}} d u$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{- 5}{4}} d u$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{7}{4} \int u^{- \frac{5}{4}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{5}{4}}$ nach $u$ gleich $- 4 u^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{7}{4} (- 4 u^{- \frac{1}{4}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{7}{4} (- 4 u^{- \frac{1}{4}} + C)$ als $\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$ um.

$\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$ als $\frac{7}{4} \cdot \frac{- 4}{u^{\frac{1}{4}}} + C$ um.

$\frac{7}{4} \cdot \frac{- 4}{u^{\frac{1}{4}}} + C$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{7}{4} (- \frac{4}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{7}{4}$ mit $\frac{4}{u^{\frac{1}{4}}}$ .

$- \frac{7 \cdot 4}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$- \frac{28}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$- \frac{4 \cdot 7}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Schritt 5.3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 u^{\frac{1}{4}}$ heraus.

$- \frac{4 \cdot 7}{4 (u^{\frac{1}{4}})} + C$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 \cdot 7}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Schritt 5.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{7}{u^{\frac{1}{4}}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 5$ .

$- \frac{7}{{(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{4}}} + C$