Analysis Beispiele

$\int \frac{x}{\sqrt[4]{x + 2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x + 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{u - 2}{\sqrt[4]{u}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{u}$ als $u^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{u - 2}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Schritt 2.2

Bringe $u^{\frac{1}{4}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (u - 2) {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u - 2) u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$\int (u - 2) u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (u - 2) u^{- \frac{1}{4}} d u$

Schritt 3

Multipliziere $(u - 2) u^{- \frac{1}{4}}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Schritt 3.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 - \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Schritt 3.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int u^{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int u^{\frac{4 - 1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Schritt 3.6

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\int u^{\frac{3}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{\frac{3}{4}} d u + \int - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{4}}$ nach $u$ gleich $\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C + \int - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C - 2 \int u^{- \frac{1}{4}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{4}}$ nach $u$ gleich $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C - 2 (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} - 2 (\frac{4}{3}) u^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + \frac{- 2 \cdot 4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + \frac{- 8}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 8.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} - \frac{8}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$\frac{4}{7} {(x + 2)}^{\frac{7}{4}} - \frac{8}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{4}} + C$