Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = e^{x} + 1$ . Dann ist $d u = e^{x} d x$ , folglich $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = e^{x} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$e^{x}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = e^{x} + 1$ ein.

$u_{lower} = e^{0} + 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = e^{x} + 1$ ein.

$u_{upper} = e^{1} + 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

$u_{upper} = e + 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e + 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{2}^{e + 1} \frac{1}{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{e + 1}$

Schritt 3

Berechne $\ln (| u |)$ bei $e + 1$ und $2$ .

$(\ln (| e + 1 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e + 1 |}{| 2 |})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

$e + 1$ ist ungefähr $3.71828182$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{e + 1}{| 2 |})$

Schritt 5.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

Dezimalform:

$0.62011450 \dots$