Analysis Beispiele

$\int e^{\cos (π x)} \sin (π x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \cos (π x)$ . Dann ist $d u_{2} = - π \sin (π x) d x$ , folglich $- \frac{1}{π} d u_{2} = \sin (π x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \cos (π x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = π x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $π x$ .

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$- \sin (π x) π$

Schritt 1.1.3.3.2

Stelle die Faktoren von $- \sin (π x) π$ um.

$- π \sin (π x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int - e^{u_{2}} \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\int - e^{u_{2}} \frac{1}{π} d u_{2}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $e^{u_{2}}$ .

$\int - \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{π} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{π} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$- \frac{1}{π} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (π x)$ .

$- \frac{1}{π} e^{\cos (π x)} + C$