Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{4 + x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ als $u - 4$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u - 4}$ als ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{{(u - 4)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

$\int \frac{u - 4}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{u - 4}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 4}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{u - 4}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Multipliziere $(u - 4) u^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 8

Da $- 4$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - 4 \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - 4 (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 10.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 8 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $4 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 12.2

Um $- 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Schritt 12.3

Kombiniere $- 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Schritt 12.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Schritt 12.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Schritt 12.6

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3}$ .

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Schritt 12.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + C$

Schritt 12.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{6} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{6} (2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$