Analysis Beispiele

$\int_{\frac{6}{π}}^{\frac{2}{3 π}} \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{1}{x}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , folglich $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{1}{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Schritt 1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{1}{x}$ ein.

$u_{lower} = \frac{1}{\frac{6}{π}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$u_{lower} = 1 \frac{π}{6}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $1$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{1}{x}$ ein.

$u_{upper} = \frac{1}{\frac{2}{3 π}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$u_{upper} = 1 \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $1$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (u) d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (u) d u$

Schritt 3

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$- (\sin (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}})$

Schritt 4

Berechne $\sin (u)$ bei $\frac{3 π}{2}$ und $\frac{π}{6}$ .

$- ((\sin (\frac{3 π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- (\sin (\frac{3 π}{2}) - \frac{1}{2})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- (- \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{2})$

Schritt 6.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2})$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (- 1 - \frac{1}{2})$

Schritt 6.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- (- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 6.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{- 2 - 1}{2}$

Schritt 6.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$- \frac{- 3}{2}$

Schritt 6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{3}{2}$

Schritt 6.7

Multipliziere $- - \frac{3}{2}$ .

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Schritt 6.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2})$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\frac{3}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{2}$

Dezimalform:

$1.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{1}{2}$