Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} e^{1 - x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - x$ ein.

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - x$ ein.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 2$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{- 1} - e^{u} d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{0}^{- 1} e^{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{0}^{- 1})$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Berechne $e^{u}$ bei $- 1$ und $0$ .

$- ((e^{- 1}) - e^{0})$

Schritt 4.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (e^{- 1} - 1)$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- (e^{- 1} - 1)$

Dezimalform:

$0.63212055 \dots$