Analysis Beispiele

$\int \sin^{5} (x) \cos^{2} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\sin^{4} (x)$ aus.

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sin (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Schritt 3

Schreibe $\sin^{2} (x)$ in $1 - \cos^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Schritt 4

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

$- \sin (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u$

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u$

Schritt 6

Multipliziere ${(1 - u^{2})}^{2} u^{2}$ aus.

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Schritt 6.1

Schreibe ${(1 - u^{2})}^{2}$ als $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ um.

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) u^{2} d u$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) u^{2} d u$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) u^{2} d u$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

Schritt 6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 (- u^{2}) u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

Schritt 6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 (- u^{2}) u^{2} - u^{2} \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) u^{2} d u$

Schritt 6.8

Bewege $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2}) u^{2} d u$

Schritt 6.9

Bewege $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.10

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \int 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.11

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$- \int u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \int u^{2} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.13

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \int u^{2} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \int u^{2} - u^{2 + 2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.15

Addiere $2$ und $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.17

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \int u^{2} - u^{4} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.19

Addiere $2$ und $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.21

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2 + 2} u^{2} d u$

Schritt 6.23

Addiere $2$ und $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4} u^{2} d u$

Schritt 6.24

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4 + 2} d u$

Schritt 6.25

Addiere $4$ und $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{6} d u$

Schritt 6.26

Subtrahiere $u^{4}$ von $- u^{4}$ .

$- \int u^{2} - 2 u^{4} + u^{6} d u$

Schritt 6.27

Stelle $- 2 u^{4}$ und $u^{6}$ um.

$- \int u^{2} + u^{6} - 2 u^{4} d u$

Schritt 6.28

Bewege $u^{2}$ .

$- \int u^{6} - 2 u^{4} + u^{2} d u$

$- \int u^{6} - 2 u^{4} + u^{2} d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- (\int u^{6} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{6}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

Schritt 9

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{2} d u)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $u^{5}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $u^{7}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 12.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{u^{3}}{3} + C)$

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$- (\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}) + C$

$- (\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}) + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- (\frac{\cos^{7} (x)}{7} - \frac{2 \cos^{5} (x)}{5} + \frac{\cos^{3} (x)}{3}) + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$- (\frac{1}{7} \cos^{7} (x) - \frac{2}{5} \cos^{5} (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$