Analysis Beispiele

$\int_{- \frac{π}{4}}^{0} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 1

Sei $u = \sec (x)$ . Dann ist $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \sec (x)$ ein.

$u_{lower} = \sec (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$u_{lower} = \sec (\frac{7 π}{4})$

Schritt 1.3.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$u_{lower} = \sec (\frac{π}{4})$

Schritt 1.3.3

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.3.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.3.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 1.3.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 1.3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.3.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.3.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.3.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.3.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.3.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.3.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.3.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.3.6.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \sec (x)$ ein.

$u_{upper} = \sec (0)$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen des Exponenten mit der Wurzel.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{1}{2} u^{2}$ bei $1$ und $\sqrt{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 3.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{1}$

Schritt 3.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.4.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2}{2}$

Schritt 3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.4.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Schritt 3.4.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 3.4.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

Schritt 3.4.1.3.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Schritt 3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.4.2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.4.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Schritt 3.4.2.4.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 3.4.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$