Analysis Beispiele

$\int_{0}^{4} \sqrt{2 x + 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x + 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x + 1$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x + 1$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 4 + 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $8$ und $1$ .

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $9$ und $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $27$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{1}{2} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.3.3.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (18 - \frac{2}{3})$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 6.5.2

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 6.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Schritt 6.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.4.1

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Schritt 6.5.4.2

Subtrahiere $2$ von $54$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{52}{3}$

Schritt 6.6

Vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{52}{3}$ .

$\frac{52}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{52}{6}$

Schritt 6.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $52$ und $6$ .

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Schritt 6.6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $52$ heraus.

$\frac{2 (26)}{6}$

Schritt 6.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 26}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 26}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{26}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{26}{3}$

Dezimalform:

$8.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$8 \frac{2}{3}$