Analysis Beispiele

$\int \frac{\ln (x + 4)}{x + 4} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = x + 4$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = x + 4$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 2

Sei $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , folglich $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int u_{2} d u_{2}$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 4

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Schritt 4.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 4$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x + 4) + C$