Analysis Beispiele

$\int \sec (1 - x) \tan (1 - x) d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - \sec (u) \tan (u) d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \sec (u) \tan (u) d u$

Schritt 3

Da die Ableitung von $\sec (u)$ gleich $\sec (u) \tan (u)$ ist, ist das Integral von $\sec (u) \tan (u)$ gleich $\sec (u)$ .

$- (\sec (u) + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

$- \sec (u) + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$- \sec (1 - x) + C$