Analysis Beispiele

$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = \ln (x)$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{u_{1}}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{u_{1}}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int u_{1} {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u_{1} e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Schritt 2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- 1 u_{1}$ als $- u_{1}$ um.

$\int u_{1} e^{- u_{1}} d u_{1}$

Schritt 3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = u_{1}$ und $d v = e^{- u_{1}}$ .

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - \int - e^{u_{2}} d u_{1}$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$ als $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ um.

$- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$

Schritt 5.2

Schreibe $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ als $- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$ um.

$- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Addiere $- u_{1} e^{u_{2}}$ und $e^{u_{2}} u_{1}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Stelle $e^{u_{2}}$ und $u_{1}$ um.

$- u_{1} e^{u_{2}} + u_{1} e^{u_{2}} + C$

Schritt 5.3.1.2

Addiere $- u_{1} e^{u_{2}}$ und $u_{1} e^{u_{2}}$ .

$0 + C$

Schritt 5.3.2

Addiere $0$ und $C$ .

$C$