Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3}}{x^{4} - 5} d x$ , $u = x^{4} - 5$

Schritt 1

Wenn $u = x^{4} - 5$ . Dann $d u = 4 x^{3} d x$ . Umschreibe dies mit $u$ und $d u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{4} - 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{4} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 5]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$4 x^{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{4 u} d u$

Schritt 2

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} - 5$ .

$\frac{1}{4} \ln (| x^{4} - 5 |) + C$