Analysis Beispiele

$\int_{- 6}^{0} | x^{3} + 27 | d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Teile das Integral auf in Abhängigkeit davon, ob $x^{3} + 27$ positiv oder negativ ist.

$\int_{- 6}^{- 3} - x^{3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 6}^{- 3} - x^{3} d x + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{- 6}^{- 3} x^{3} d x + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 6}^{- 3}) + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x + \int_{- 3}^{0} 27 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} + \int_{- 3}^{0} 27 d x$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} + 27 x]_{- 3}^{0}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$ und $27 x]_{- 3}^{0}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4} + 27 x]_{- 3}^{0}$

Schritt 11.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $- 3$ und $- 6$ .

$- ((\frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4} + 27 x]_{- 3}^{0}$

Schritt 11.2.2

Berechne $- 27 x$ bei $- 3$ und $- 6$ .

$- (\frac{{(- 3)}^{4}}{4} - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) + - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + \frac{1}{4} x^{4} + 27 x]_{- 3}^{0}$

Schritt 11.2.3

Berechne $\frac{1}{4} x^{4} + 27 x$ bei $0$ und $- 3$ .

$- (\frac{{(- 3)}^{4}}{4} - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) + - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4

Vereinfache.

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Schritt 11.2.4.1

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.2

Potenziere $- 6$ mit $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1296}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1296$ und $4$ .

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Schritt 11.2.4.3.1

Faktorisiere $4$ aus $1296$ heraus.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 324}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.4.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 324}{4 (1)}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 324}{4 \cdot 1}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{81}{4} - \frac{324}{1}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.3.2.4

Dividiere $324$ durch $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 1 \cdot 324) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $324$ .

$- (\frac{81}{4} - 324) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.5

Um $- 324$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{81}{4} - 324 \cdot \frac{4}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.6

Kombiniere $- 324$ und $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{81}{4} + \frac{- 324 \cdot 4}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{81 - 324 \cdot 4}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.4.8.1

Mutltipliziere $- 324$ mit $4$ .

$- \frac{81 - 1296}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.8.2

Subtrahiere $1296$ von $81$ .

$- \frac{- 1215}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{1215}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1215}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.11

Mutltipliziere $\frac{1215}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1215}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.12

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 3$ .

$\frac{1215}{4} + 81 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.13

Mutltipliziere $27$ mit $- 6$ .

$\frac{1215}{4} + 81 - 162 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.14

Subtrahiere $162$ von $81$ .

$\frac{1215}{4} - 81 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.15

Um $- 81$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1215}{4} - 81 \cdot \frac{4}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.16

Kombiniere $- 81$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1215}{4} + \frac{- 81 \cdot 4}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1215 - 81 \cdot 4}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.4.18.1

Mutltipliziere $- 81$ mit $4$ .

$\frac{1215 - 324}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.18.2

Subtrahiere $324$ von $1215$ .

$\frac{891}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.19

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{891}{4} + \frac{1}{4} \cdot 0 + 27 \cdot 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.20

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$\frac{891}{4} + 0 + 27 \cdot 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.21

Mutltipliziere $27$ mit $0$ .

$\frac{891}{4} + 0 + 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.22

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.23

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{1}{4} \cdot 81 + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.24

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $81$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} + 27 \cdot - 3)$

Schritt 11.2.4.25

Mutltipliziere $27$ mit $- 3$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} - 81)$

Schritt 11.2.4.26

Um $- 81$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} - 81 \cdot \frac{4}{4})$

Schritt 11.2.4.27

Kombiniere $- 81$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} + \frac{- 81 \cdot 4}{4})$

Schritt 11.2.4.28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{891}{4} + 0 - \frac{81 - 81 \cdot 4}{4}$

Schritt 11.2.4.29

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.4.29.1

Mutltipliziere $- 81$ mit $4$ .

$\frac{891}{4} + 0 - \frac{81 - 324}{4}$

Schritt 11.2.4.29.2

Subtrahiere $324$ von $81$ .

$\frac{891}{4} + 0 - \frac{- 243}{4}$

Schritt 11.2.4.30

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{891}{4} + 0 - - \frac{243}{4}$

Schritt 11.2.4.31

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{891}{4} + 0 + 1 (\frac{243}{4})$

Schritt 11.2.4.32

Mutltipliziere $\frac{243}{4}$ mit $1$ .

$\frac{891}{4} + 0 + \frac{243}{4}$

Schritt 11.2.4.33

Addiere $0$ und $\frac{243}{4}$ .

$\frac{891}{4} + \frac{243}{4}$

Schritt 11.2.4.34

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{891 + 243}{4}$

Schritt 11.2.4.35

Addiere $891$ und $243$ .

$\frac{1134}{4}$

Schritt 11.2.4.36

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1134$ und $4$ .

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Schritt 11.2.4.36.1

Faktorisiere $2$ aus $1134$ heraus.

$\frac{2 (567)}{4}$

Schritt 11.2.4.36.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.4.36.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 567}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.36.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 567}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.36.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{567}{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{567}{2}$

Dezimalform:

$283.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$283 \frac{1}{2}$

Schritt 13