Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Das Integral von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\ln (| \sec (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Berechne $\ln (| \sec (u) |)$ bei $\frac{π}{4}$ und $\frac{π}{6}$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{6}) |)$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (\frac{π}{6}) |)$

Schritt 3.2.2

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{6})$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} |)$

Schritt 3.2.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.1.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.3.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.1.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.1.4

$\sqrt{2}$ ist ungefähr $1.41421356$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.2.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.2.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} |})$

Schritt 3.3.2.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} |})$

Schritt 3.3.2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} |})$

Schritt 3.3.2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} |})$

Schritt 3.3.2.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.3.2.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} |})$

Schritt 3.3.2.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |})$

Schritt 3.3.2.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |})$

Schritt 3.3.2.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |})$

Schritt 3.3.2.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} |})$

Schritt 3.3.2.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |})$

Schritt 3.3.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ist ungefähr $1.15470053$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Schritt 3.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\sqrt{2} \frac{3}{2 \sqrt{3}})$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2 \sqrt{3}})$

Schritt 3.3.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 4.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Schritt 4.2.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})})$

Schritt 4.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})})$

Schritt 4.2.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})})$

Schritt 4.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Schritt 4.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}})$

Schritt 4.2.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 4.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 4.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 4.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}})$

Schritt 4.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3})$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3})$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\ln (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2})$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\ln (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Dezimalform:

$0.20273255 \dots$