Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 1

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} - u d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} u d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{2}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4

Berechne $\frac{1}{2} u^{2}$ bei $\frac{1}{2}$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- ((\frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 5

Multipliziere $\frac{1}{2}$ mit ${(\frac{1}{2})}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Potenziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- ({(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- ({(\frac{1}{2})}^{1 + 2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Dezimalform:

$0.125$