Analysis Beispiele

$\int_{3}^{4} x \sqrt{x - 3} d x$

Schritt 1

Sei $u = x - 3$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 3$ ein.

$u_{lower} = 3 - 3$

Schritt 1.3

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 3$ ein.

$u_{upper} = 4 - 3$

Schritt 1.5

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{1} (u + 3) \sqrt{u} d u$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{1} (u + 3) u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Multipliziere $(u + 3) u^{\frac{1}{2}}$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.6

Addiere $2$ und $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.7

Stelle $u^{\frac{3}{2}}$ und $3 u^{\frac{1}{2}}$ um.

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $1$ und $0$ .

$3 ((\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ bei $1$ und $0$ .

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.3.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.5

Addiere $\frac{2}{3}$ und $0$ .

$3 (\frac{2}{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.6.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.7.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.7.2

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $1$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.8.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Schritt 8.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Schritt 8.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5}$

Schritt 8.8.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0$

Schritt 8.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.9.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5})$

Schritt 8.9.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{5}$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0$

Schritt 8.10

Addiere $\frac{2}{5}$ und $0$ .

$2 + \frac{2}{5}$

Schritt 8.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.11.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$

Schritt 8.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5}$

Schritt 8.11.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 5 + 2}{5}$

Schritt 8.11.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.11.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10 + 2}{5}$

Schritt 8.11.4.2

Addiere $10$ und $2$ .

$\frac{12}{5}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{12}{5}$

Dezimalform:

$2.4$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{2}{5}$