Analysis Beispiele

$\int 10 x {(5 x^{2} - 2)}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = 5 x^{2} - 2$ . Dann ist $d u = 10 x d x$ , folglich $\frac{1}{10 x} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 5 x^{2} - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $5 x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $10 x$ und $0$ .

$10 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{2} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{3} {(5 x^{2} - 2)}^{3} + C$