Analysis Beispiele

$\int 3 t^{2} {(2 t^{3} + 8)}^{- 1} d t$

Schritt 1

Sei $u = 2 t^{3} + 8$ . Dann ist $d u = 6 t^{2} d t$ , folglich $\frac{1}{6} d u = t^{2} d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 t^{3} + 8$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 t^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3} + 8]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t^{3} + 8$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t^{3}$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$6 t^{2} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $6 t^{2}$ und $0$ .

$6 t^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 3 u^{- 1} \frac{1}{6} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $3$ .

$\int \frac{3}{6} u^{- 1} d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{3}{6}$ und $u^{- 1}$ .

$\int \frac{3 u^{- 1}}{6} d u$

Schritt 2.3

Bringe $u^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{3}{6 u} d u$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\int \frac{3 (1)}{6 u} d u$

Schritt 2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6 u$ heraus.

$\int \frac{3 (1)}{3 (2 u)} d u$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{3 \cdot 1}{3 (2 u)} d u$

Schritt 2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $2 t^{3} + 8$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 t^{3} + 8 |) + C$