Analysis Beispiele

$\int_{2}^{3} \frac{x}{{(x^{2} - 3)}^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} - 3$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} - 3$ ein.

$u_{lower} = 2^{2} - 3$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} - 3$ ein.

$u_{upper} = 3^{2} - 3$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$u_{upper} = 9 - 3$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$u_{upper} = 6$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 6$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{- 2} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} - u^{- 1}]_{1}^{6}$

Schritt 6

Berechne $- u^{- 1}$ bei $6$ und $1$ .

$\frac{1}{2} ((- 6^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1^{- 1})$

Schritt 8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + \frac{6}{6})$

Schritt 9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 6}{6}$

Schritt 9.3

Addiere $- 1$ und $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 6}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{5}{12}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{12}$

Dezimalform:

$0.41\overline{6}$