Analysis Beispiele

$\int e^{3 x + 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 x + 1$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} e^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 1$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x + 1} + C$