Analysis Beispiele

$\int {(- 9 x^{2} + x + 4)}^{8} (- 18 x + 1) d x$

Schritt 1

Sei $u = - 9 x^{2} + x + 4$ . Dann ist $d u = (- 18 x + 1) d x$ , folglich $\frac{1}{- 18 x + 1} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = - 9 x^{2} + x + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- 9 x^{2} + x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + x + 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 9 x^{2} + x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$- 18 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 18 x + 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.4.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 18 x + 1 + 0$

Schritt 1.1.4.3

Addiere $- 18 x + 1$ und $0$ .

$- 18 x + 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{8} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{8}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $- 9 x^{2} + x + 4$ .

$\frac{1}{9} {(- 9 x^{2} + x + 4)}^{9} + C$