Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x + 7) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5

Multipliziere $(x^{2} + 3 x + 7) x^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{2} + 3 x) x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.4

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.5

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.7.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{1 - \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.10

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.12

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.13

Stelle $x^{\frac{3}{2}}$ und $3 x^{\frac{1}{2}}$ um.

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.14

Bewege $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 5.15

Stelle $3 x^{\frac{1}{2}}$ und $7 x^{- \frac{1}{2}}$ um.

$\int 7 x^{- \frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 7 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 7

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$14 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$