Analysis Beispiele

$\int \sec^{2} (\frac{x}{4}) d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{x}{4}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{4} d x$ , folglich $4 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{x}{4}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{4}$ zu dividieren.

$\int \sec^{2} (u) (1 \cdot 4) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\int \sec^{2} (u) \cdot 4 d u$

Schritt 2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (u)$ .

$\int 4 \sec^{2} (u) d u$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 4

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$4 (\tan (u) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$4 \tan (u) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$4 \tan (\frac{x}{4}) + C$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$4 \tan (\frac{1}{4} x) + C$