Analysis Beispiele

$\int x^{2} {(x + 1)}^{3} d x$

Schritt 1

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int {(u - 1)}^{2} u^{3} d u$

$\int {(u - 1)}^{2} u^{3} d u$

Schritt 2

Multipliziere ${(u - 1)}^{2} u^{3}$ aus.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(u - 1)}^{2}$ als $(u - 1) (u - 1)$ um.

$\int (u - 1) (u - 1) u^{3} d u$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

Schritt 2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

Schritt 2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

Schritt 2.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.8

Stelle $u$ und $- 1$ um.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} - 1 \cdot u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.9

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.10

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 + 1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\int u^{2} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{2 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.14

Addiere $2$ und $3$ .

$\int u^{5} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.15

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u^{5} - (u \cdot u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.16

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{5} - (u^{1} u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{5} - u^{1 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.18

Addiere $1$ und $3$ .

$\int u^{5} - u^{4} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.19

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u^{5} - u^{4} - (u \cdot u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.20

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - (u^{1} u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{5} - u^{4} - u^{1 + 3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.22

Addiere $1$ und $3$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Schritt 2.23

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{3} d u$

Schritt 2.24

Mutltipliziere $u^{3}$ mit $1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + u^{3} d u$

Schritt 2.25

Subtrahiere $u^{4}$ von $- u^{4}$ .

$\int u^{5} - 2 u^{4} + u^{3} d u$

$\int u^{5} - 2 u^{4} + u^{3} d u$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

Schritt 5

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{3} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{3} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$\frac{u^{6}}{6} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

$\frac{u^{6}}{6} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{6} {(x + 1)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 1)}^{5} + \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$