Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} {(3 t - 1)}^{50} d t$

Schritt 1

Sei $u = 3 t - 1$ . Dann ist $d u = 3 d t$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 3 t - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $3 t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 3 t - 1$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 0 - 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 3 t - 1$ ein.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$u_{upper} = 3 - 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 1}^{2} u^{50} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{50}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 1}^{2} \frac{u^{50}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{2} u^{50} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{50}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{51} u^{51}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{51} u^{51}]_{- 1}^{2}$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{51} u^{51}$ bei $2$ und $- 1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{51} \cdot 2^{51}) - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

Schritt 5.2

Potenziere $2$ mit $51$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{51} \cdot 2251799813685250 - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{1}{51}$ und $2251799813685250$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Potenziere $- 1$ mit $51$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} - \frac{1}{51} \cdot - 1)$

Schritt 5.4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} + 1 (\frac{1}{51}))$

Schritt 5.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{51}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} + \frac{1}{51})$

Schritt 5.4.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2251799813685250 + 1}{51}$

Schritt 5.4.3.2

Addiere $2251799813685250$ und $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2251799813685251}{51}$

Schritt 5.4.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2251799813685251}{51}$ .

$\frac{2251799813685251}{3 \cdot 51}$

Schritt 5.4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $51$ .

$\frac{2251799813685251}{153}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2251799813685251}{153}$

Dezimalform:

$14717645841080.1$