Analysis Beispiele

$\int 4 x^{2} {(7 - 3 x^{3})}^{3} d x$

Schritt 1

Sei $u = 7 - 3 x^{3}$ . Dann ist $d u = - 9 x^{2} d x$ , folglich $- \frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 7 - 3 x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $7 - 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 3 x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - 3 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 - 3 (3 x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$0 - 9 x^{2}$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $0$ .

$- 9 x^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 4 u^{3} \frac{1}{- 9} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int 4 u^{3} (- \frac{1}{9}) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\int - 4 u^{3} \frac{1}{9} d u$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $- 4$ .

$\int \frac{- 4}{9} u^{3} d u$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{- 4}{9}$ und $u^{3}$ .

$\int \frac{- 4 u^{3}}{9} d u$

Schritt 2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{4 u^{3}}{9} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{4 u^{3}}{9} d u$

Schritt 4

Da $\frac{4}{9}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{4}{9}$ aus dem Integral.

$- (\frac{4}{9} \int u^{3} d u)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- \frac{4}{9} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $- \frac{4}{9} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ als $- \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ um.

$- \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 6.2

Schreibe $- \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ als $\frac{- 1}{9} u^{4} + C$ um.

$\frac{- 1}{9} u^{4} + C$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{9} u^{4} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $7 - 3 x^{3}$ .

$- \frac{1}{9} {(7 - 3 x^{3})}^{4} + C$