Analysis Beispiele

\int \cos (\ln (x)) d x

$\int \cos (\ln (x)) d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Sei

u = \ln (x)

$u = \ln (x)$ . Dann ist

d u = \frac{1}{x} d x

$d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich

x d u = d x

$x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von

u

$u$ und

d

$d$

u

$u$ .

\int e^{u} \cos (u) d u

$\int e^{u} \cos (u) d u$

Schritt 3

Stelle

e^{u}

$e^{u}$ und

\cos (u)

$\cos (u)$ um.

\int \cos (u) e^{u} d u

$\int \cos (u) e^{u} d u$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel

\int w d v = w v - \int v d w

$\int w d v = w v - \int v d w$ , mit

w = \cos (u)

$w = \cos (u)$ und

dv = e^{u}

$dv = e^{u}$ .

\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u

$\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u$

Schritt 5

- 1

$- 1$ konstant bezüglich

u

$u$ ist, ziehe

- 1

$- 1$ aus dem Integral.

\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u

$\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u

$\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Schritt 6.2

Mutltipliziere

\int e^{u} (\sin (u)) d u

$\int e^{u} (\sin (u)) d u$ mit

1

$1$ .

\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u

$\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Schritt 6.3

Stelle

e^{u}

$e^{u}$ und

\sin (u)

$\sin (u)$ um.

\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel

\int w d v = w v - \int v d w

$\int w d v = w v - \int v d w$ , mit

w = \sin (u)

$w = \sin (u)$ und

dv = e^{u}

$dv = e^{u}$ .

\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u

$\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Schritt 8

Wenn nach

\int e^{u} \cos (u) d u

$\int e^{u} \cos (u) d u$ aufgelöst wird, erhalten wir

\int e^{u} \cos (u) d u

$\int e^{u} \cos (u) d u$ =

\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2}

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2}$ .

\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$

Schritt 9

Schreibe

\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$ als

\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$ um.

\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$

Schritt 10

Ersetze alle

u

$u$ durch

\ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) e^{\ln (x)} + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) e^{\ln (x)} + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Schritt 11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Schritt 11.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C$

\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C$