Analysis Beispiele

$\int (x + 1) \tan^{2} (3 x^{2} + 6 x) \sec^{2} (3 x^{2} + 6 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 3 x^{2} + 6 x$ . Dann ist $d u_{1} = (6 x + 6) d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u_{1} = (x + 1) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 3 x^{2} + 6 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 6 x]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x + 6 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 x + 6$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $\tan^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{6} \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{\tan^{2} (u_{1})}{6}$ und $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})}{6} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int \tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{6} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{6} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ als $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ um.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

Schritt 6.2

Schreibe $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ als $\frac{1}{18} {u_{2}}^{3} + C$ um.

$\frac{1}{18} {u_{2}}^{3} + C$

Schritt 7

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{18} \tan^{3} (u_{1}) + C$

Schritt 7.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{1}{18} \tan^{3} (3 x^{2} + 6 x) + C$