Analysis Beispiele

$\int \frac{2}{3 \sqrt[3]{3 - 2 x}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Forme um.

$\frac{- 2}{1}$

Schritt 1.1.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 5.2

Bringe $u^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $- \frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ als $- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2

Schreibe $- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ als $- \frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ um.

$- \frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $3 - 2 x$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{2}{3}} + C$