Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{x^{2} + 1}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ als $u - 1$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u - 1}$ als ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

$\int \frac{u - 1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{u - 1}{\sqrt[3]{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{\sqrt[3]{u} \cdot 2} d u$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 5

Multipliziere $(u - 1) u^{- \frac{1}{3}}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 5.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 5.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3 - 1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 5.6

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int u^{\frac{2}{3}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{2}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u)$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C - \int u^{- \frac{1}{3}} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C))$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) + C$

Schritt 12.1.2

Kombiniere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{2}) + C$

Schritt 12.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}) + C$

Schritt 12.2

Um $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}) + C$

Schritt 12.3

Um $- \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Schritt 12.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 12.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Schritt 12.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{10} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Schritt 12.4.3

Mutltipliziere $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{10} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{2 \cdot 5}) + C$

Schritt 12.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{10} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{10}) + C$

Schritt 12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2 - 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{10} + C$

Schritt 12.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.6.1

Faktorisiere $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ aus $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2 - 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5$ heraus.

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Schritt 12.6.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 12.6.1.1.1

Bewege ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} - 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{10} + C$

Schritt 12.6.1.1.2

Bewege ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} - 3 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{10} + C$

Schritt 12.6.1.2

Faktorisiere $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ aus $3 \cdot 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}}) - 3 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{10} + C$

Schritt 12.6.1.3

Faktorisiere $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ aus $- 3 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}}) + 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 5)}{10} + C$

Schritt 12.6.1.4

Faktorisiere $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ aus $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}}) + 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 5)$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} - 1 \cdot 5)}{10} + C$

Schritt 12.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} - 5)}{10} + C$

Schritt 12.6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.6.3.1

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{1} - 5)}{10} + C$

Schritt 12.6.3.2

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 (x^{2} + 1) - 5)}{10} + C$

Schritt 12.6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 5)}{10} + C$

Schritt 12.6.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} + 2 - 5)}{10} + C$

Schritt 12.6.4

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3)}{10} + C$

Schritt 12.7

Kombinieren.

$\frac{1 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3))}{2 \cdot 10} + C$

Schritt 12.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3)}{2 \cdot 10} + C$

Schritt 12.9

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3)}{20} + C$