Analysis Beispiele

$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Sei $x = 3 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 3 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $3 \sin (t)$ an.

$\int \frac{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 9 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.6

Schreibe $9 \cos^{2} (t)$ als ${(3 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sin (t)$ heraus.

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $3 (\sin (t))$ an.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3^{2} \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cos (t)$ heraus.

$\int \frac{3 (\cos (t))}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{3 (\cos (t))}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $3$ und $\frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $\frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ und $\cos (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t) \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Schritt 3.2.7

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Schritt 3.2.8

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Schritt 3.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{3 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Schritt 3.2.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Schritt 3.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Schritt 3.2.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Schritt 3.2.12

Wandle von $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ nach $\cot^{2} (t)$ um.

$\int \cot^{2} (t) d t$

Schritt 4

Schreibe $\cot^{2} (t)$ in $- 1 + \csc^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Schritt 7

Da die Ableitung von $- \cot (t)$ gleich $\csc^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (t)$ gleich $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Schritt 8

Vereinfache.

$- t - \cot (t) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{3}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$- \arcsin (\frac{1}{3} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$