Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x - 4}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = x - 4$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = x - 4$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{{(u_{1} + 4)}^{2}}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{{(u_{1} + 4)}^{2}}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Schritt 2.2

Bringe ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Schritt 3

Sei $u_{2} = u_{1} + 4$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{2} = u_{1} + 4$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $u_{1} + 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 4]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} + 4$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Schritt 3.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Sei $u_{3} = u_{2} - 4$ . Dann ist $d u_{3} = d u_{2}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{3} = u_{2} - 4$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $u_{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 4]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{2} - 4$ nach $u_{2}$ $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Schritt 4.1.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $u_{2}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\int {(u_{3} + 4)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe ${(u_{3} + 4)}^{2}$ als $(u_{3} + 4) (u_{3} + 4)$ um.

$\int (u_{3} + 4) (u_{3} + 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u_{3} (u_{3} + 4) + 4 (u_{3} + 4)) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4 + 4 (u_{3} + 4)) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4 + 4 u_{3} + 4 \cdot 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + (4 u_{3} + 4 \cdot 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + u_{3} \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + (4 u_{3} + 4 \cdot 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + u_{3} \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.8

Stelle $u_{3}$ und $4$ um.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.9

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.10

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {u_{3}}^{2 - \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.14

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.15

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.17.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{4 - 1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.17.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.18

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}) + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{1 - \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.20

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{2 - 1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.22

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.23

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}) + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.24

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{3}}^{1 - \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.25

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{2 - 1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.27

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.28

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.29

Addiere $4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ und $4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.30

Stelle $8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ und $16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ um.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.31

Bewege ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 7

Da $16$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$16 \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 9

Da $8$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$16 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + 8 \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$16 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + 8 (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$16 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + 8 (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$16 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + 8 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$32 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 12.3

Stelle die Terme um.

$32 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 13.1

Ersetze alle $u_{3}$ durch $u_{2} - 4$ .

$32 {(u_{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(u_{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(u_{2} - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 13.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $u_{1} + 4$ .

$32 {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 13.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 4$ .

$32 {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$32 {(x + 0 - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 14.2

Addiere $x$ und $0$ .

$32 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 14.3

Addiere $- 4$ und $4$ .

$32 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x + 0 - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 14.4

Addiere $x$ und $0$ .

$32 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 14.5

Addiere $- 4$ und $4$ .

$32 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x + 0 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 14.6

Addiere $x$ und $0$ .

$32 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$