Analysis Beispiele

$\int_{2}^{7} x \sqrt{x + 2} d x$

Schritt 1

Sei $u = x + 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x + 2$ ein.

$u_{lower} = 2 + 2$

Schritt 1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$u_{lower} = 4$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x + 2$ ein.

$u_{upper} = 7 + 2$

Schritt 1.5

Addiere $7$ und $2$ .

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{4}^{9} (u - 2) \sqrt{u} d u$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{4}^{9} (u - 2) u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Multipliziere $(u - 2) u^{\frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{4}^{9} u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int_{4}^{9} u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{4}^{9} u^{1 + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.6

Addiere $2$ und $1$ .

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} d u + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ bei $9$ und $4$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Schritt 8.2

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $9$ und $4$ .

$\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{2}{5} \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.3.4

Potenziere $3$ mit $5$ .

$\frac{2}{5} \cdot 243 - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $243$ .

$\frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $243$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.5.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 32 - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Mutltipliziere $32$ mit $- 1$ .

$\frac{486}{5} - 32 (\frac{2}{5}) - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.6.2

Kombiniere $- 32$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{486}{5} + \frac{- 32 \cdot 2}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.6.3

Mutltipliziere $- 32$ mit $2$ .

$\frac{486}{5} + \frac{- 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{486}{5} - \frac{64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.7

Vereinfache.

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Schritt 8.7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{486 - 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.7.2

Subtrahiere $64$ von $486$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.8

Vereinfache.

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Schritt 8.8.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.8.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.9

Vereinfache.

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Schritt 8.9.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $27$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 8.9.3.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.9.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.9.3.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.10

Vereinfache.

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Schritt 8.10.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 8.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.10.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 8.10.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

Schritt 8.10.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 8)$

Schritt 8.11

Vereinfache.

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Schritt 8.11.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - 8 (\frac{2}{3}))$

Schritt 8.11.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

Schritt 8.11.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 16}{3})$

Schritt 8.11.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{16}{3})$

Schritt 8.12

Vereinfache.

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Schritt 8.12.1

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Schritt 8.12.2

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Schritt 8.12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{422}{5} - 2 \frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Schritt 8.12.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.12.4.1

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 \frac{54 - 16}{3}$

Schritt 8.12.4.2

Subtrahiere $16$ von $54$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{38}{3})$

Schritt 8.13

Vereinfache.

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Schritt 8.13.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{38}{3}$ .

$\frac{422}{5} + \frac{- 2 \cdot 38}{3}$

Schritt 8.13.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $38$ .

$\frac{422}{5} + \frac{- 76}{3}$

Schritt 8.13.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{422}{5} - \frac{76}{3}$

Schritt 8.14

Vereinfache.

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Schritt 8.14.1

Um $\frac{422}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3}$

Schritt 8.14.2

Um $- \frac{76}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 8.14.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.14.3.1

Mutltipliziere $\frac{422}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 8.14.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 8.14.3.3

Mutltipliziere $\frac{76}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Schritt 8.14.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{15}$

Schritt 8.14.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{422 \cdot 3 - 76 \cdot 5}{15}$

Schritt 8.14.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.14.5.1

Mutltipliziere $422$ mit $3$ .

$\frac{1266 - 76 \cdot 5}{15}$

Schritt 8.14.5.2

Mutltipliziere $- 76$ mit $5$ .

$\frac{1266 - 380}{15}$

Schritt 8.14.5.3

Subtrahiere $380$ von $1266$ .

$\frac{886}{15}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{886}{15}$

Dezimalform:

$59.0\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$59 \frac{1}{15}$