Analysis Beispiele

$\int x {(x + 1)}^{3} d x$

Schritt 1

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (u - 1) u^{3} d u$

Schritt 2

Multipliziere $(u - 1) u^{3}$ .

$\int u \cdot u^{3} - 1 u^{3} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere $u$ mit $u^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u^{3}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{3} - 1 u^{3} d u$

Schritt 3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 + 3} - 1 u^{3} d u$

Schritt 3.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\int u^{4} - 1 u^{3} d u$

Schritt 3.2

Schreibe $- 1 u^{3}$ als $- u^{3}$ um.

$\int u^{4} - u^{3} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{4} d u + \int - u^{3} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - u^{3} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - \int u^{3} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$