Analysis Beispiele

$\int [x^{2} + \frac{1}{{(3 x)}^{2}}] d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Entferne die Klammern.

$\int x^{2} + \frac{1}{{(3 x)}^{2}} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\int x^{2} + \frac{1}{{(3 (x))}^{2}} d x$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $3 (x)$ an.

$\int x^{2} + \frac{1}{3^{2} x^{2}} d x$

Schritt 3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int x^{2} + \frac{1}{9 x^{2}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int \frac{1}{9 x^{2}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{1}{9 x^{2}} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{9} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{9} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{9} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{9} \int x^{- 2} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{9} (- x^{- 1} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{9} (- x^{- 1}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{x^{- 1}}{9} + C$

Schritt 9.2.2

Bringe $x^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{9 x} + C$