Analysis Beispiele

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Sei $x = \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t)}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (t)$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec (t) \tan (t)$ heraus.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) (\tan (t))) d t$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \tan (t) \tan (t) d t$

Schritt 4

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) d t$

Schritt 5

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) d t$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

Schritt 8

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 11

Da die Ableitung von $\tan (t)$ gleich $\sec^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (t)$ gleich $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

$- t + \tan (t) + C$

Schritt 13

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (x)$ .

$- arcsec (x) + \tan (arcsec (x)) + C$