Analysis Beispiele

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} d x$

Schritt 1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} d x$

Schritt 1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\int \frac{16}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{16}{u^{2}} d u$

Schritt 3

Da $16$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$16 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$16 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$16 \int u^{- 2} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$16 (- u^{- 1} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $16 (- u^{- 1} + C)$ als $16 (- \frac{1}{u}) + C$ um.

$16 (- \frac{1}{u}) + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$- 16 \frac{1}{u} + C$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 16}{u} + C$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16}{u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$- \frac{16}{x + 1} + C$