Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} \frac{5 r}{{(4 + r^{2})}^{2}} d r$

Schritt 1

Sei $u = 4 + r^{2}$ . Dann ist $d u = 2 r d r$ , folglich $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 + r^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d r}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + r^{2}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 1.1.3

Da $4$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $2 r$ .

$2 r$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $r$ in $u = 4 + r^{2}$ ein.

$u_{lower} = 4 + {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $4$ und $1$ .

$u_{lower} = 5$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $r$ in $u = 4 + r^{2}$ ein.

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 4 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $4$ und $1$ .

$u_{upper} = 5$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2} \cdot 2} d u$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{2 u^{2}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{5}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{5}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{- 2} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$\frac{5}{2} - u^{- 1}]_{5}^{5}$

Schritt 6

Berechne $- u^{- 1}$ bei $5$ und $5$ .

$\frac{5}{2} ((- 5^{- 1}) + 5^{- 1})$

Schritt 7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + 5^{- 1})$

Schritt 8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

Schritt 9

Addiere $- \frac{1}{5}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $0$ .

$0$