Analysis Beispiele

$\int x (3^{- x^{2}}) d x$

Schritt 1

Sei $u = - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 x)$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 3^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int 3^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $3^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{3^{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{3^{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int 3^{u} d u)$

Schritt 5

Das Integral von $3^{u}$ nach $u$ ist $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $- \frac{1}{2} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ als $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Schritt 6.2

Schreibe $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ als $- \frac{1}{\ln (3) \cdot 2} \cdot 3^{u} + C$ um.

$- \frac{1}{\ln (3) \cdot 2} \cdot 3^{u} + C$

Schritt 6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (3)$ .

$- \frac{1}{2 \ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \ln (3)} \cdot 3^{- x^{2}} + C$