Analysis Beispiele

$\int x \sqrt{2 - x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 - x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - (- u + 2) \sqrt{u} d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int (- u + 2) \sqrt{u} d u$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \int (- u + 2) u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Multipliziere $(- u + 2) u^{\frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int - u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.2

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \int - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- \int - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \int - u^{1 + \frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \int - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \int - u^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.7

Addiere $2$ und $1$ .

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.8

Stelle $- u^{\frac{3}{2}}$ und $2 u^{\frac{1}{2}}$ um.

$- \int 2 u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- (\int 2 u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- (2 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- (2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Schritt 10

Vereinfache.

$- (\frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$- (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $2 - x$ .

$- (\frac{4}{3} {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und ${(2 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5} {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 13.1.2

Kombiniere ${(2 - x)}^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{2}{5}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(2 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

Schritt 13.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 13.2

Um $\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 13.3

Um $- \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Schritt 13.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 13.4.1

Mutltipliziere $\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Schritt 13.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Schritt 13.4.3

Mutltipliziere $\frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

Schritt 13.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

Schritt 13.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Schritt 13.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$- \frac{20 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Schritt 13.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- \frac{20 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{15} (20 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$