Analysis Beispiele

$\int z^{7} (10 z^{8} - 4) d z$

Schritt 1

Sei $u = z^{2}$ . Dann ist $d u = 2 z d z$ , folglich $\frac{1}{2 z} d u = d z$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = z^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d z}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $z^{2}$ .

$\frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 z$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int {\sqrt{u}}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{u}}^{6}$ als $u^{3}$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot 6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$\int u^{\frac{6}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Schritt 2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Schritt 2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Schritt 2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int u^{\frac{3}{1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Schritt 2.1.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\int u^{3} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{u}}^{8}$ als $u^{4}$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int u^{3} (5 {(u^{\frac{1}{2}})}^{8} - 2) d u$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{1}{2} \cdot 8} - 2) d u$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{8}{2}} - 2) d u$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - 2) d u$

Schritt 2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - 2) d u$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - 2) d u$

Schritt 2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{4}{1}} - 2) d u$

Schritt 2.2.4.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\int u^{3} (5 u^{4} - 2) d u$

Schritt 3

Multipliziere $u^{3} (5 u^{4} - 2)$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u^{3} (5 u^{4}) + u^{3} \cdot - 2 d u$

Schritt 3.2

Stelle $u^{3}$ und $5$ um.

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} + u^{3} \cdot - 2 d u$

Schritt 3.3

Stelle $u^{3}$ und $- 2$ um.

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} - 2 \cdot u^{3} d u$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 5 u^{3 + 4} - 2 u^{3} d u$

Schritt 3.5

Addiere $3$ und $4$ .

$\int 5 u^{7} - 2 u^{3} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

Schritt 5

Da $5$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{7}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) + \int - 2 u^{3} d u$

Schritt 7

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 \int u^{3} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Schritt 9.2

Schreibe $5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ als $\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ um.

$\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 2}{4} u^{4} + C$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 (- 1)}{4} u^{4} + C$

Schritt 9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Schritt 9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Schritt 9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 1}{2} u^{4} + C$

Schritt 9.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{8} u^{8} - \frac{1}{2} u^{4} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $z^{2}$ .

$\frac{5}{8} {(z^{2})}^{8} - \frac{1}{2} {(z^{2})}^{4} + C$